# 6. Синтез систем по оптимізації їх керованості

Розглянемо лінійну систему з дискретним аргументом

(6.1)

де u(k) – скалярні величини, x(k) – n – вимірні вектори. Тоді відомо [ 4, 6, 10 ], що у випадку відсутності властивості цілком керованості цією системою на множині аргументу має місце співвідношення

(6.2)

де псевдообернена матриця до матриці W(N+1) ,

Складаючи систему рівнянь для W(N+1)

(6.3)

(6.4)

і розглядаючи для множину значень для системи (6.3), (6.4) складемо функціонал якості

(6.5)

де . Тому що мінімізація функціоналу (6.5) еквівалентна максимізації функціоналу

(6.6)

то задачу оптимального синтезу системи (6.1) по максимізації її керованості будемо розглядати як задачу оптимального керування системою (6.3), (6.4) при

(6.7)

Зокрема, якщо вектори при M=n є системою ортонормованих векторів, то

(6.8)

Дана постановка задачі дозволяє вибирати структуру керування для не цілком керованої системи по переводу її в задану множину фінальних точок так, щоб якнайближче наблизити кінцеві стани системи до заданої множини точок. Керування можна здійснювати як одною траєкторією, переводячи її в мінімальні околи заданих фінальних точок, так і пучком траєкторій. Наприклад, керування пучком частинок в лінійних прискорювачах з концентрацією пучка в кінці прискорюючого тракту.

Для розв'язання задачі оптимального керування (6.3), (6.4), (6.7) можна використовувати один із двох наступних підходів.

Перший підхід визначається явною залежністю функціонала (6.6) від вектора b(k) при фіксованих значеннях векторів

Другий підхід складається в розв'язанні сформульованої задачі синтезу як задачі оптимального керування (6.3), (6.4), (6.5) з використанням функцій Гамільтона.

Відповідно до результатів роботи [ 7 ] явна залежність матриці від b(k) має наступний вид

(6.9)

де

Тому що

(6.10)

то для оптимальних для котрих

виконується наступна необхідна умова оптимального синтезу (на відміну від принципу максимуму оптимізація проводиться по структурі системи керування)

Розглянемо задачу оптимального керування (2.3), (2.4), (2.7). Тут функція Гамільтона має вигляд

Матриця визначається з системи матричних рівнянь

(6.11)

(6.12)

Для знаходження градіенту у формулі (6.12) від псевдооберненої матриці, скористаємося формулою рекурентного псевдообернення матриць [ 6 ]. З цією метою спочатку необхідно знайти градіенти по вектор-рядках матриці W(N+1) .Тоді матриця в кінцевій точці має вид

матриця W(N+1) без k – го вектора-рядка,

– k–й вектор-рядок матриці W(N+1) ,

i – й вектор-стовпчик матриці F,

де вектор без k –ой компоненти,

Тоді

А процедура градієнтного спуску має вигляд