# 3. Cинтез систем з оптимізацією модальних регуляторів

Розглянемо задачу оптимального вибору структури розподілу керуючого сигналу в лінійній системі з метою мінімізації норми матриці коефіцієнтів підсилення в оберненому зв’язку закону модального регулювання.

Нехай в системі

(3.1)

де – n - вимірний, u – m - вимірний вектори, необхідно визначити обернений зв’язок

(3.2)

згідно умови модального керування

(3.3)

при оптимізації за рахунок вибору як елементів матриці С , так і елементів матриці B з відповідних множин

Методи визначення матриці підсилення модального регулятора наводяться в роботах [2, 4, 6, 9, 11] . Один з можливих методів визначення матриці модального регулятора зводиться до представлення шуканої матриці у вигляді [ 10, 11 ] . Це представлення матриці підсилення звужує множину можливих модальних регуляторів, але дає можливість порівняно просто визначати коефіцієнти модального регулятора. Пропонується наступний підхід по визначенню матриці C . Представимо систему (3.1) у вигляді

де

Спочатку розглянемо систему

і визначимо коефіцієнти характеристичного рівняння

по формулі [ 9 ]

де

елементами вектора p є коефіцієнти характеристичного рівняння розімкнутої системи.

На наступному кроці розглядається система

з коефіцієнтами характеристичного рівняння замкнутої системи

де

На кроці m розглядається наступна система рівнянь

де

для замкнутої системи, якій необхідно забезпечити наступні коефіцієнти характеристичного рівняння

вибираючи відповідним чином вектор [ 9 ] . Компоненти вектора є коефіцієнтами характеристичного рівняння (3.3).

Таким чином, у випадку обмежень виду

наведена задача оптимізації модального регулятора зводиться до наступної задачі керування системою з дискретним аргументом

(3.4)

з початкового стану

(3.5)

в кінцевий

(3.6)

при умові оптимізації наступного функціоналу

(3.7)

Вектор визначається з умови

Для розв’язання поставленої задачі запишемо чисельну процедуру знаходження матриць З цією метою запишемо функцію Гамільтона [12] для системи (3.4)

Спряжені змінні задовільняють наступним системам рівнянь

Матриці розмірності мають наступну структуру

де одиничні орти розмірності n . Тоді

`

для градієнтних обчислювальних процедур

Після знаходження нових параметрів, в результаті градієнтного спуску, значення функціоналу (3.7) зменшиться, але при цих параметрах кінцева умова (3.6) не буде виконуватися. Для коректування параметрів, при яких буде задовольнятися кінцева умова (3.6), пропонується наступна процедура. Ліанеризуємо систему (3.4) в околі векторів в результаті для приростів отримаємо наступну систему рівнянь

Тоді кінцевий стан системи для приростів має наступний вигляд

де – імпульсна перехідна функція системи,

Спроектуємо вектор , використовуючи операцію псевдообернення [1, 7], отримаємо, що при

з точністю до величин другого порядку малості кінцевий стан системи (3.4) задовільняє умові (3.6) , де – операція псевдообернення матриці до матриці T.