# 5. Загальний розв'язок задачі термінального керування і спостереження

В даному параграфі розглядається математична проблема побудови загальних розв'язків термінального керування і спостереження. Доводяться умови існування загального розв'язку цих проблем для лінійних динамічних систем з неперервним і дискретним аргументами.

## 5.1. Постановка задачі термінального керування

Нехай динамічна система керування з дискретним аргументом описується системою рівнянь

(5.1)

(5.2)

де .

Якщо система (1) за умови (2) керована в термінальний стан

(5.3)

то проблему загального розв'язку задачі термінального керування будемо формулювати такий чином. Знайти множину всіх функцій керування , при яких для розв'язку системи (5.1) виконуються умови (5.2), (5.3).

Під загальним розв'язком задачі термінального керування (5.1), (5.2), (5.3) у параметричній формі будемо розуміти функцію керування

, (5.4)

яка задовольняє умовам

.

При цьому векторний параметр v і множина вибрана таким чином, що кожний частковий розв'язок задачі термінального керування (5.1), (5.2), (5.3) описується формулою (5.1.4) при відповідному виборі v з.

Якщо система (5.1) за умови (5.2) не керована в термінальний стан (5.3), то загальним псевдорозв'язком задачі термінального керування будемо називати множину усіх функцій , що доставляють мінімум виразу

.

Аналогічне формулювання має місце і для параметричної форми представлення загального псевдорозв'язку задачі термінального керування.

## 5.2. Постановка задачі термінального спостереження

Нехай задана система

(5.5)

і вимірюється сигнал

. (5.6)

Проблема загального розв'язку задачі термінального спостереження стану для системи (5.6), (5.7) формулюється таким чином.

Знайти множину усіх функцій таких, що має місце співвідношення

.

Тут і розглядаються як наперед задані.

Якщо стан не спостережуваний, тобто існують , для яких сигнали, що вимірюються, співпадають, то загальним розв'язком задачі оцінювання стану будемо називати множину усіх функцій , для котрих

,

,

де - стан, що спостерігається.

## 5.3. Загальний розв'язок систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Основою побудови загальних розв'язків задачі термінального керування і спостереження є наступні розв'язки і їхні властивості для систем лінійних алгебраїчних рівнянь

.

4) Розв'язок існує і єдиний.

Необхідні і достатні умови існування єдиного розв'язку наступні

,

.

Тут

,

,

де називається псевдообрненою матрицею. Розв'язок має вигляд

.

2) Існує множина розв'язків (розв'язок не єдиний).

Необхідні і достатні умови існування множини розв'язків наступні

,

.

Множина розв'язків має вигляд

.

3) Розв'язок не існує і псевдорозв'язок

є єдиним.

У цьому випадку необхідні і достатні умови існування єдиного псевдорозв'язку наступні

,

.

Псевдорозв'язок має вид

.

4) Розв'язок не існує і є множина псевдорозв'язків (псевдорозв'язок не єдиний).

Необхідні і достатні умови існування множини псевдорозв'язків наступні

,

.

Множина псевдорозв'язків має вигляд

.

## 5.4. Загальний розв'язок задачі термінального керування для лінійних систем.

Попередні результати дозволяють знайти загальний розв'язок задачі термінального керування для лінійних систем з дискретним аргументом

, (5.8)

.

Кінцевий стан системи (5.8) можна записати таким чином

, (5.9)

де .

Систему (5.9) можна представити також у вигляді

,

або

, (5.10)

де матриця розмірності n´((N+1)m), - вектор розмірності (N+1)m.

Такий чином задача знаходження термінального керування для системи (5.8) за умові (5.3) еквівалентна пошуку розв'язку системи алгебраїчних рівнянь (5.10).

1) Розв'язок задачі термінального керування для системи (5.8) за умови (5.3) існує і єдиний.

Необхідні і достатні умови існування і єдиності розв'язку задачі термінального керування

,

.

Термінальне керування має вид

, (5.11)

де .

2) Існує множина розв'язків (розв'язок не єдиний) задачі термінального керування (5.8), (5.3).

Необхідні і достатні умови існування множини розв'язків наступні

,

.

Множина термінальних керувань має вид

3) Не існує розв'язку задачі термінального керування (5.8), (5.3).

Тоді псевдорозв'язок задачі термінального керування для системи (5.8) при

(5.12)

є єдиним.

Необхідні і достатні умови розв'язку цієї задачі наступні

,

.

А псевдотермінальне керування визначається формулою

.

4) Не існують розв'язку задачі термінального керування (5.8), (5.3). Псевдорозв'язок задачі термінального керування (5.8), (5.12) є не єдиним.

Необхідні і достатні умови розв'язку цієї задачі наступні

,

.

Множина псевдорозв'язків задачі термінального керування визначається формулою

.

У випадку систем керування з неперервним аргументом

(5.13)

будемо шукати керування системою (5.13) по переводу її зі стану в у вигляді [10]

, (5.14)

де - матриця імпульсних перехідних характеристик системи (5.13), - постійний n - вимірний вектор. Тоді розв'язок системи (5.13) в кінцевий момент часу запишеться таким чином

. (5.15)

Підставивши (5.14) у (5.15), одержимо

. (5.16)

Таким чином, задача термінального керування звелася до розв'язку системи алгебраїчних рівнянь (5.16) відносно вектора .

Можливі наступні випадки розв'язку задачі термінального керування системою (5.13) з стану в .

2) Існує множина розв'язків задачі термінального керування для систем з неперервним аргументом.

Необхідна і достатня умова існування множини розв'язків задачі термінального керування системою (13) наступне

. (5.17)

Якщо на інтервалі виконується умова (5.17), то існує множина розв'язків задачі термінального керування

,

де - інтегровані функції на інтервалі .

3) Розв'язок задачі термінального керування не існує.

У цьому випадку множина псевдорозв'язків задачі термінального керування визначається виразом

.

Необхідна і достатня умова розв'язку цієї задачі наступна

.

Множина псевдорозв'язків задачі термінального керування наступна

,

де - інтегровані функції на інтервалі .

## 5.5. Загальний розв'язок задачі термінального спостереження для лінійних систем

Для лінійних систем проблема загального розв'язку задачі термінального спостереження стану системи зводиться до проблеми загального розв'язку задачі термінального керування для деякої спряженої системи до початкової. При цьому, якщо початкова система має вигляд

, (5.18)

, (5.19)

,

то спряжена до неї система керування буде мати наступний вид

(5.20)

при

. (5.21)

Тут множина лінійних функцій , що реалізують представлення по формулі спостереження

,

визначається множиною функцій у задачі термінального керування (5.20), (5.21). Ці функції знаходяться з розв'язку наступної системи алгебраїчних рівнянь

,

або в наступному виді

,

де матриця розмірності n´((N+1)m), - вектор розмірності m(N+1),

матриця розмірності n´m.

При розв'язуванні цієї системи алгебраїчних рівнянь може бути один із чотирьох випадків.

1) Розв'язок задачі термінального спостереження стана для системи (5.18), (5.19) існує і єдиний.

Необхідні і достатні умови існування і одиничності розв'язку наступні

,

,

де .

Тоді функція , що визначає термінальне спостереження, має вид

.

Вектор стану системи спостереження представляється формулою

. (5.22)

де - і-й одиничний орт розмірності n.

2) Існує множина розв'язків (розв'язок не єдиний) задачі термінального спостереження стану для системи (5.18), (5.19).

Необхідні і достатні умови існування множини розв'язків наступні

,

.

Множина функцій , що визначають термінальне спостереження в системі, має вигляд

(5.23)

Вектор стана системи (5.18), (5.19) представляється формулою

(5.24)

3) Стан є не спостережуваним і існує єдиний розв'язок задачі оцінки стану .

У цьому випадку псевдорозв'язок задачі термінального спостереження визначається з умови

.

Необхідні і достатні умови неспостережуваності стану і існування єдиного розв'язку задачі термінального оцінювання наступні

,

.

Функція , що визначає розв'язок задачі оцінювання, має вигляд

.

Оцінка стану представляється формулою

.

4) Стан є неспостережуваний. Існує множина розв'язків (розв'язок не єдиний) задачі термінального оцінювання стану .

Множина псевдорозв'язків задачі термінального спостереження визначається з умови

.

Необхідні і достатні умови неспостережуваності стану і існування множини розв'язків задачі термінального оцінювання наступні

,

.

Множина функцій , що визначають розв'язок задачі оцінювання, описуються формулою (5.23). Оцінка стану системи має вид

.

У випадку системи спостереження з неперевним аргументом

, . (5.25)

Стан будемо шукати у вигляді наступної лінійної операції

.

Функція представляється як керування в системі

(5.26)

по переводу її траєкторії з точки в точку .

При розв'язанні задачі термінального керування для систем з неперервним аргументом можливі два випадки.

1) Існує множина розв'язків задачі термінального спостереження для систем із неперевним аргументом.

Необхідна і достатня умова існування множини розв'язків задачі термінального спостереження системою (5.26) наступне

, (5.27)

де - матриця імпульсних перехідних характеристик для системи (5.26). Якщо на інтервалі виконується умова (5.27), то існує множина розв'язків задачі термінального спостереження

,

де - інтегровані функції на інтервалі .

Вектор стану системи (5.25) має вид

,

.

Матричні функції інтегровані на інтервалі .

2) Розв'язок задачі термінального спостереження не існує.

У цьому випадку множина псевдорозв'язків задачі термінального спостереження визначається виразом

.

Необхідна і достатня умова розв'язку задачі термінального спостереження наступне

.

Множина псевдорозв'язків задачі термінального спостереження має вид

,

Оцінка вектора стану системи (5.25) представляється такий чином

,

.

Матричні функції інтегровані на інтервалі .