# 2. Збурення псевдообернених та проекційних матриць

Метод збурення псевдообернених матриць [1] на основі принципу розщеплення матриць нижче поширюється на проекційні матриці з метою подальшого використання при розв'язанні задач ідентифікації, нелінійного регресійного аналізу, апроксимації функцій і прогнозу.

Відповідно до постановки задачі про аналітичне представлення збурень псевдообернених матриць [7, 8], будемо розглядати для деякої довільної матриці її псевдообернену матрицю , збурену матрицю

, , ,

збурену псевдообернену матрицю

,

збурену проекційну матрицю

,

а також наступну проекційну матрицю

.

Функції , , мають різний вигляд в залежності від того, можна або неможливо представити вектори й у формі лінійних комбінацій векторів-стовпчиків або, відповідно, вектор-рядків матриці .

Розглянемо чотири можливих випадки залежності векторів і від елементів матриці .

Випадок 1. Вектори і лінійно незалежні з векторами-стовпцями і векторами-рядками матриці відповідно, тобто

. (2.1)

Тоді залежність визначається наступною теоремою.

Теорема 1. Якщо для матриці , , , виконуються умови (2.1), то

.

Використовуючи співвідношення (2.1) для функцій , , їхній вид визначається наслідками з теореми 1.

Наслідок 1. Якщо виконуються умови теореми, то

. (2.2)

Справедливість цього твердження прямо випливає з теореми 1. Дійсно

.

Наслідок 2. Якщо виконуються умови теореми 1, то

. (2.3)

Наслідок 3. Якщо виконуються умови теореми 1 і

, ,

тобто, вектор є ортогональним до усіх векторів-стовпців матриці , а вектор – до всіх вектор-рядкам матриці , то

. (2.4)

Справедливість твердження наслідку 3 випливає з формули (2.3) і співвідношень

, , .

Випадок 2. Вектор є лінійно залежним від вектор-стовпців матриці , а вектор – лінійно незалежним від вектор-рядків матриці , тобто

, . (2.5)

Тут має місце наступна теорема [8].

Теорема 2. Якщо для матриці , , виконуються умови (2.5), то

(2.6)

де

.

Наслідок 4. Якщо виконуються умови теореми 2 і вектор є ортогональним до вектор-рядків матриці , тобто , то

, (2.7)

де

. (2.8)

Наслідок 5. Якщо мають місце умови наслідку 4, то

, (2.9)

де визначається по формулі (2.8).

Доведення наслідку (5) випливає з наступних співвідношень

.

Наслідок 6. Якщо мають місце умови наслідку 4, то

. (2.10)

За умови вирази й у цьому випадку будуть отримані після аналізу випадку лінійної залежності і від відповідно вектор-стовпців і векторів-рядків матриці .

Випадок 3. Вектори і лінійно залежні відповідно від вектор-стовпців і векторів-рядків матриці , тобто

, (2.11)

і при цьому

. (2.12)

У цьому випадку збурення псевдооберненої матриці визначаються відповідно наступної теореми.

Теорема 3. Якщо для матриці , , виконуються умови (2.11), (2.12), то мають місце співвідношення

, (2.13)

. (2.14)

Наслідок 7. Якщо виконані умови теореми 3, то

. (2.15)

Справедливість твердження наслідку 7 перевіряється простою підстановкою формули (2.15) у вираз для матриці

,

де використані властивості

,

( відповідно до (2.11) ),

( відповідно до (2.12) ).

Наслідок 8. Якщо виконуються умови теореми 3, то

, (2.16)

де визначається по формулі (2.14).

При доведенні теореми 3 використовується наступна лема.

Лема. Квадратна матриця при наявності умови має наступну псевдообернену матрицю

. (2.17)

Ця лема буде використана нижче для обчислення збурень у псевдооберненій матриці, якщо під збуреннями початкової матриці розуміти видалення з неї деякого її стовпця або рядка.

Випадок 4. Нехай мають місце умови (2.11)

,

але при цьому не виконується рівність (2.12), тобто

. (2.18)

Тоді, як це випливає з доведення теореми 3, виконується умова

. (2.19)

Теорема 4. Якщо для матриці , , виконуються умови (2.11), (2.18), то мають місце співвідношення

, (2.20)

Доведення цього твердження здійснюється перевіркою умов, яким повинна задовольняти псевдообернена матриця.

Наслідок 9. Якщо виконані умови теореми 4, то

. (2.21)

Наслідок 10. Якщо виконуються умови теореми 4, то

.(2.22)

Довести останню формулу можна наступним чином

.

Наслідок 11. Якщо мають місце умови теореми 2 і , , то

, (2.23)

, (2.24)

, (2.25)

, . (2.26)

Доведення наслідку 11 випливає з розбивки вектора на два ортогональні складові і застосування послідовно до матриці теореми 4, наслідку 9, а потім до матриці наслідку 4 і 5.

Розглянемо тепер збурення -матриці у формі або поповнення її новим рядком до встановлення її розмірності або вилучення з неї однієї з її рядків із зміною розмірності матриці до . В якості збурень без обмеження спільності будемо розглядати поповнення матриці або вилучення останнього рядка. При поповненні матриці новим рядком для визначення збуреної псевдооберненої матриці використовуються добре відомі формули Гревіля [5]

Нехай для матриці має місце співвідношення , тоді

, (2.27)

, (2.28)

(2.29)

якщо , то

, (2.30)

, (2.31)

. (2.32)

При вилученні з матриці останнього рядка псевдообернена і проекційні матриці набувають наступні зміни

a) при

, (2.33)

де

, (2.34)

, (2.35)

, (2.36)

, (2.37)

b) при

, (2.38)

, (2.39)

, (2.40)

, (2.41)

Слід зазначити, що умова (2.33) визначає падіння рангу в матриці при вилученні вектор-рядки , тобто

, (2.42)

а умова (2.38) – відсутність зниження рангу

, (2.43)

Наведемо доведення формули (2.35). Якщо

відома матриця, де – її останній стовпчик. Тоді, відповідно до (2.27), при одержимо

, ,

тобто, . Так як , то і, відповідно до (2.17)

,

,

.

Тут використані співвідношення

.

Подібним чином доводиться і формула (2.37).

Приведемо доведення формули (2.39). При відповідно до (2.30)

і з рівняння

одержимо

.

Формули (40) і (41) доводяться простим використанням формули (2.39).