§1. Врівноважені розбиття скінченних графів

Розглянемо скінченний зв'язний граф Gr = (V,E) з множиною вершин V і множиною ребер E. Для довільних двох вершин x,y Î V позначимо через d(x,y) довжину найкоротшого шляху від x до y. Для довільних вершини x Î V, підмножини A Í V і невід'ємного цілого числа m покладемо

Індексом непорожньої підмножини A Í V називається найменше невід'ємне ціле число m, таке що V=B(A,m). Індекс підмножини A позначимо через ind A.

Відстань dist(A,B) між непорожніми підмножинами А, В множини вершин V визначимо за формулою

Зауважимо, що ind A=dist(A,V) для будь-якої непорожньої підмножини A Í V.

Індексом розбиття множини вершин V на непорожні підмножини називається максимальний індекс підмножин розбиття.

Розбиття скінченної множини X, |X|=n на r підмножин (1£ r £ n, n=rs+t, 0 £ t < r) називається врівноваженим, якщо існує така нумерація X1, X2, …, Xr підмножин розбиття, для якої

|X1|=|X2|= …= |Xt| = s+1, |Xt+1| = |Xt+2| =…= |Xr| = s

Зокрема, якщо r - дільник числа n, то врівноважене розбиття X - це розбиття X на r частин, що мають однакову кількість елементів.

Переформулюємо деякі з цих означень в хроматичній термінології. Розфарбування множини X r кольорами - це довільне відображення "на" c: X®{1,2,¼,r}. Кожне таке розфарбування визначає розбиття c -1(1)È c -1(2)È …È c -1(r) множини X на непорожні підмножини. З іншого боку, кожне розбиття X=X1 È X2 È…È Xr множини X на непорожні підмножини породжується розфарбуванням c , що визначається за правилом: c(x)=k тоді і тільки тоді, коли x Î Xk. Розфарбування c: X®{1,2,¼,r} назвемо врівноваженим, якщо відповідне розбиття X=c -1(1)È c-1(2)È …È c -1(r) є врівноваженим.

Розбиття множини V вершин графа Gr = (V,E) на r підмножин має індекс £ m тоді і тільки тоді, коли при разфарбуванні c: V®{1,2,¼,r}, що відповідає цьому розбиттю, кожна куля B(x,m), x Î V містить точки усіх r кольорів. Індексом розфарбування називається індекс відповідного розбиття.

Теорема 1.1. Для будь-яких натуральних чисел r, n, r £ n і довільного зв'язного графа Gr = (V,E), |V|=n існує розбиття індексу £ r-1 множини вершин V на r підмножин.

Доведення. Індукцією по числу n покажемо, що існує розфарбування c: V®{1,2,¼,r}, таке що

для будь-яких x Î V, k Î{0,1,…,r-1}. Теорема випливає з цього твердження при k=r-1.

Ми можемо замінити граф його кістяком і вважати, що Gr = (V,E) є деревом. Для n=1 твердження очевидне. Якщо r=n, то можна вибрати довільне розфарбування c: V®{1,2,¼,r}. Припустимо, що r<n, n>1 і зафіксуємо будь-яку кінцеву вершину y дерева Gr = (V,E). Тоді B(y,1)={y,z}, де z - єдина суміжна з y вершина дерева Gr = (V,E). Розглянемо граф Gr 1(V 1,E 1), де V 1=V \ {y}, E 1=E \ {(y,z)}. Позначимо через B1(x,k) кулю радіуса k в графі Gr 1(V 1,E 1) з центром в точці x Î V1. Оскільки граф Gr 1(V 1,E 1) зв'язний і |V 1|=n-1, то за припущенням індукції існує розфарбування c 1: V1®{1,2,¼,r}, таке що

для всіх x Î V1, k Î{0,1,…,r-1}. Зауважимо, що і виберемо максимальне число m Î{0,1,…,r-2} для якого . Далі виберемо довільне число s Î{0,1,…,r}, таке що . Покладемо c(y)=s і c(x)=c 1(x) для всіх x Î V1. Оскільки B(z,k)Í B(y,k+1), то для всіх k Î{0,1,…,r-1}.

Приклад 1.1. Розглянемо граф Grn(Vn,En), n ³ 2, де Vn={x1, x2, …, xn}, En={(x1, x2), (x1, x3),…, (x1, xn)}. Існує лише два 2-розфарбування c 1 , c 2 множини Vn, що мають індекс 1, а саме

c 1(x1)=1, c 1(x2)=c 1(x3)=…=c 1(xn)=2;

c 2(x1)=2, c 2(x2)=c 2(x3)=…=c 2(xn)=1.

Якщо n>3, то ці розфарбування неврівноважені. Отже, для n>3 і r=2 не існує врівноважених розфарбувань індексу r-1 множини c n.

У зв'язку з цим прикладом виникає питання про можливий аналог теореми 1.1 для врівноважених розбиттів.

Теорема 1.2. Для будь-яких натуральних чисел r, n, r£ n і довільного зв'язного графа Gr(V,E), |V|=n існує врівноважене розбиття індексу £ r множини вершин V на r підмножин.

Для доведення цієї теореми необхідні деякі означення і технічні результати.

Скінченне дерево Gr(V,E), |V|>2 називається зіркою з центром x Î V, якщо x не є кінцевою вершиною дерева і будь-які два найкоротших шляхи від x до різних кінцевих вершин не мають спільних ребер. Кожен такий шлях x=x0, x1,…,xk визначає промінь зірки з множиною вершин {x0, x1,…,xk} і множиною ребер {(x0, x1), (x1, x2),…, (xk-1, xk)}. Число k називається довжиною променя, а x0 і x1 - його початком і кінцем. Таким чином, кожна зірка є об'єднанням променів, що виходять з центра. Радіусом зірки називається максимальна довжина її променів.

Лема 1.1. Нехай - r натуральне число, r>2, Gr(V,E) - зірка з центром x і трьома променями R1, R2, R3 радіусів r1, r2, r3, причому i Î{1, 2, 3}. Тоді існує врівноважене r-розфарбування індексу £ r множини вершин V, таке що на відстані від центра розташовані вершини усіх r кольорів.

Доведення. Припустимо для визначеності, що r1 ³ r2 ³ r3. Запишемо вершини променів R1, R2, R3 у порядку їх розташування від початку променя до його кінця

.

Якщо r=2, то r1=r2=r3=1 і будь-яке врівноважене 2-розфарбування має індекс 2.

Припустимо, що r>2, r=3r'+j, 0£ j<3. Подамо число r у вигляді суми r = a+b+c, a ³ b ³ c=r'.

Розглянемо послідовність r вершин

і пофарбуємо їх кольорами {1,2,..r} зліва направо. Оскільки r'+1 £ r/3 + 1, то на відстані від центра x вже знаходяться вершини всіх r кольорів. Для того щоб продовжити це часткове розфарбування c на всю множину вершин V розглянемо два випадки.

Випадок . Не пофарбовані вершини зірки запишемо у такому порядку

і пофарбуємо їх періодично зліва направо, починаючи з кольору a+b+1. Точніше, колір i-го члена v цієї послідовності визначається за формулою

Врівноваженість розфарбування c очевидна. Візьмемо довільну вершину v Î V. Якщо v - вершина графа R1 È R2, то за означенням c на відстані £ r-1 від v розташовані вершини графа R1 È R2 усіх r кольорів. Якщо ж v - вершина променя R3, то d(v,x)<2/3´ r, а на відстані від x знайдуться точки усіх r кольорів. Це і означає, що індекс розфарбування c не перевищує r.

Випадок . Продовжимо розфарбування c на множину

xa, xa+1 , …, xa+b-1, yb+1, yb+2,…, yb+c, zc+1, zc+2,…, zc+a

за таким правилом

c(xa)=c(y1), c(xa+1)=c(y2),…,c(xa+b-1)=c(yb),

c(yb+1)=c(z1), c(yb+2)=c(z2),…,c(yb+c)=c(zc),

c(zc+1)=c(x), c(zc+2)=c(x1),…,c(zc+a)=c(xa-1),

Таким чином, розфарбовано 2r вершин зірки, причому кожен з r кольорів використано двічі. Зауважимо також, що кулі містять відповідно

a+b+r-r1, b+c+r-r2+1, a+c+r-r3

розфарбованих різнокольорових вершин. Завершимо розфарбування за таким правилом

c(xa+b)=c(), c(xa+b+1)=c(),…,c()=c(zc),

c(yb+c+1)=c(), c(yb+c+2)=c(),…,c()=c(xa),

c(zc+a+1)=c(), c(zc+a+2)=c(),…,c()=c(yb),

Оскільки на останньому етапі розфарбування кожен колір використано не більше одного разу, то розфарбування c врівноважене. Оскільки на відстані £ r від кожного кінця променів R1, R2, R3 розташовані вершини усіх r кольорів, то індекс розфарбування c не перевищує r.

Лема 1.2. Нехай r - натуральне число ³ 2, Gr(V,E) - зірка з центром x радіуса £ r-1, що містить принаймні два променя довжини ³ r/2. Тоді існує врівноважене r-розфарбування індексу £ r множини V.

Доведення. Нехай R1, R2,…, Rt - промені довжини ³ r/2, Rt+1, Rt+2,…, Rs - промені довжини < r/2,

Gr(V,E) = R1 È R2 È…È Rt È Rt+1 È…È Rs.

Запропонуємо два способи розфарбування множини V в залежності від парності числа t.

Якщо число t парне, занумеруємо вершини дерева R1 È R2 послідовними натуральними числами у порядку їх розташування від кінця променя R1 до кінця променя R2. Продовжимо нумерацію таким же способом на вершини дерева R3 È R4, пропускаючи вже занумерований центр x і т. д. Отже, початковим відрізком натурального ряду вже занумеровано вершини дерева R1 È R2 È…È Rt. Продовжимо цю нумерацію довільним числом на решту вершин зірки Gr(V,E) і одержимо деяке упорядкування x1,x2,…,xn множини V. Пофарбуємо вершини x1,x2,…,xn кольорами {1,2,…,r} зліва направо за правилом

c(x1)=1, c(x2)=2,…, c(xr)=r, c(xr+1)=1,…,c(xn)=1+(n-1)mod r.

Очевидно, що розфарбування c врівноважене. Візьмемо довільну вершину v Î V. Якщо v - вершина одного з графів R1 È R2, R3 È R4,…, Rt-1 È Rt, то у відповідному графі на відстані £ r від вершини v знаходяться вершини усіх r кольорів. Якщо ж v - вершина одного з променів Rt+1, Rt+2,…, Rs , то d(v,x)<r/2, а в графі R1 È R2 на відстані £ r/2 від центра x також містяться вершини усіх r кольорів. Це і означає, що індекс розфарбування c не перевищує r.

Якщо число t непарне, пофарбуємо вершини зірки R1 È R2 È R3 згідно з лемою 1.1. Позначимо через m число вершин зірки R1 È R2 È R3, m=ra+b, 0£b<r. Змінюючи нумерацію кольорів, можна вважати, що кольори {1,2,…,b} використано a+1 разів, а кольори {b+1, b+2,…,r} використано a разів. Починаючи з кольору (b+1) mod r, продовжимо це розфарбування на V таким же чином, як і у випадку парного числа t. Візьмемо довільну вершину v Î V. Якщо v - вершина одного з графів R1 È R2 È R3, R4 È R5,…, Rt-1 È Rt, то у відповідному графі на відстані £ r від вершини v містяться вершини усіх r кольорів. Якщо ж v - вершина одного з променів Rt+1, Rt+2,…, Rs , то d(v,x)<r/2, а на відстані £ r/3 +1 від x в графі R1 È R2 È R3 також містяться вершини усіх r кольорів. Отже, індекс розфарбування не перевищує r.

Для натурального числа r>1 дерево, що має принаймні r вершин, назвемо r-критичним, якщо після видалення будь-якого його ребра хоча б одне з двох утворених дерев має менше ніж r вершин. Нагадаємо, що діаметром скінченного зв'язного графу називається максимальна відстань між його вершинами.

Лема 1.3. В r-критичному дереві Gr(V,E) діаметра d ³ r-1 знайдеться вершина x, після видалення якої дерево розпадається на піддерева з числом вершин <r в кожному з них.

Доведення. Виберемо вершини v 0,v d Î V, такі що d(v 0,v d )=d. Нехай v 0,v 1, …,v d - найкоротший шлях від вершини v 0 до вершини v d. Для кожного числа i Î{1,2,…,d} позначимо через T i дерево з коренем v i, утворене видаленням з Gr(V,E) ребра (v i-1,v i). Виберемо мінімальне число m Î{1,2,…,d}, таке що дерево T m має <r вершин. Покладемо x=vm-1. Для кожної вершини y, суміжної з вершиною x, позначимо через T(y) дерево з коренем y, утворене видаленням ребра (x,y). Якщо y Ï{v 0,v 1, …,v d}, то число вершин дерева T(y) менше ніж r в силу r-критичності графа Gr(V,E). Це ж твердження справедливе і для кожної вершини y Î{v 0,v 1, …,v d} в силу вибору числа m і r-критичності.

Лема 1.4. Для кожного r-критичного дерева Gr(V,E) існує врівноважене r-розфарбування множини вершин V, індекс якого не перевищує r.

Доведення. Якщо діаметр d дерева £ r, то будь-яке r-розфарбування множини вершин V має індекс £ r. Для d >r виберемо вершину x, що задовольняє лему 1.3. Позначимо через y 1,y 2,…,ys усі суміжні з x вершини дерева. Розглянемо дерева T(y 1), T(y 2),…,T(ys) з коренями y 1,y 2,…,ys, одержані видаленням ребер (y 1,x),(y 2,x),…,(ys,x). В кожному з них виберемо по одній вершині zi, що найбільше віддалена від кореня. Позначимо через R 1,R 2 ,…,Rs підграфи графу Gr(V,E), що визначаються найкоротшими шляхами від x до z 1,z 2,…,z s. Тоді граф S=R 1 È R 2 È…È Rs є зіркою радіуса £ r-1.

Припустимо, що серед променів зірки S є принаймні два довжини ³ r/2. За лемою 1.2 існує врівноважене r-розфарбування індексу £ r множини вершин зірки S. Продовжимо його довільним чином до врівноваженого розфарбування c множини S. Візьмемо довільну вершину v Î V, v ¹ x і виберемо піддерево T(yi), вершиною якого є v. Оскільки число вершин дерева T(yi) менше r, то B(zi,r)Í B(v,r). Оскільки куля B(zi,r) містить точки усіх r кольорів зірки S, то розфарбування c має індекс£ r.

Припустимо, що лише один промінь зірки S, скажімо R1, має довжину ³ r/2. Серед променів R 2,R 3,…,Rs виберемо промінь, скажімо R 2, найбільшої довжини. Оскільки d > r, то граф R 1 È R 2 має ³ r вершин. Занумеруємо їх в порядку розташування від кінця променя R 2 до кінця променя R 1 і продовжимо цю нумерацію довільним способом на всю множину V. Упорядковану послідовність x 1,x 2,…,x n вершин множини V розфарбуємо за правилом c(x i )=1+(i-1) mod r. Врівноваженість розфарбування c очевидна. Візьмемо довільну вершину v Î V. За означенням розфарбування c в кулі B(v,r) містяться r різнокольорових точок графа R 1 È R 2. Отже, індекс розфарбування c не перевищує r.

Для підмножини A множини вершин графа Gr(V,E) позначимо через Gr[A] граф з множиною вершин A і множиною ребер E Ç(A´A).

Лема 1.5. Нехай Gr(V,E) - скінченний зв'язний граф, r - натуральне число і множину вершин V розбито на підмножини V 1,V 2,…,Vk, так, що всі графи Gr[V 1],Gr[V 2],…,Gr[Vk] зв'язні і допускають врівноважені r-розфарбування c 1,c 2,…,c k , індекс яких не перевищує r. Тоді існує врівноважене r-розфарбування c множини V, індекс якого теж не перевищує r.

Доведення. Нехай . Змінюючи нумерацію кольорів, можна вважати, що c i(xij)=1+(j-1)modr для всіх i Î{1,2,…,k}, j Î{1,2,…,mi}. Запишемо вершини множини V у послідовність

і для i-го члена v цієї послідовності покладемо c(v)=1+(i-1)mod r .

Доведення теореми 1.2. Для r=1 теорема очевидна. Припустимо, що r>1. Ми можемо замінити граф його кістяком і вважати, що Gr(V,E) - дерево. Послідовним видаленням ребер розіб'ємо множину V на підмножини V 1,V 2,…,Vk так, що Gr[V 1],Gr[V 2],…,Gr[Vk] - r-критичні дерева. Застосуємо леми 1.4 і 1.5.

Приклад 1.2. Нехай G - скінченна група з одиницею e, S Í G, |S|=r, S=S-1, e Î S. Розглянемо граф Келі Cay(G) групи G з множиною вершин G і множиною ребер {(x,y): x,y Î G, x ¹ y, xy-1 Î S}. Застосуємо теорему 1.2 до кожної зв'язної компоненти графа Cay(G), а потім - лему 1.5. Отримаємо таке твердження.

Існує врівноважене розбиття групи G=A 1 È A 2 È…È Ar, таке що G=SrAi для всіх i Î{1,2,…,r}.

Якщо S - підгрупа групи G, то вказати таке розбиття дуже просто: кожен лівий суміжний клас групи G за підгрупою S пофарбуємо кольорами {1,2,…,r} і позначимо через A 1,A 2,…,Ar однокольорові підмножини. Отже, теорему 1.2 можна розглядати як аналог для графів теореми Лагранжа про розклад групи на суміжні класи за підгрупою.

У зв'язку з теоремою 1.1 виникає таке питання. Чи можна множину вершин скінченного зв'язного графа розбити на підмножин індексу 1 за умови, що локальний ступінь кожної вершини досить великий? Нагадаємо, що локальний ступінь вершини - це кількість ребер, що виходять з цієї вершини. Уточнимо це питання. Чи для кожного натурального числа r знайдеться натуральне число f(r), таке що будь-який скінченний зв'язний граф з локальними ступенями вершин ³ f(r) можна розфарбувати r кольорами так, що кожна куля радіуса 1 містить вершини усіх r кольорів?

Числа f(1), f(2) визначаються теоремою 1.1: f(1)=f(2)=1. Наступний приклад показує, що числа f(3) взагалі не існує.

Приклад 1.3. Для кожного натурального числа m покладемо Xm={1,2,…,3 m} і позначимо через Ym сім'ю усіх m-підмножин множини Xm. Розглянемо граф Grm з множиною вершин Vm = Xm È Ym і множиною ребер Em, де (x,y)Î Em тоді і тільки тоді, коли x Î Xm , y Î Ym і x Î y. Зауважимо, що локальний ступінь кожної вершини графа Grm не менший за m. Зафіксуємо довільне 3-розфарбування c: Vm → {1,2,3} . Оскільки |Xm=3 m|, то знайдеться однокольорова m-підмножина у множини Xm. Значить, |c(B(y,1))|<3.