# 4. Алгоритм оптимізації багатомірного модального регулятора на прикладі коливної системи

Розглядається задача оптимального вибору структури розподілу керуючого сигналу в лінійній системі з метою мінімізації норми матриці коефіцієнтів підсилення в зворотному зв'язку закону модального регулювання.

Розглянемо коливну систему з трьох мас, які з'єднані між собою пружинами (мал. 4.1).

m1 m2 m3

Мал. 1

Коливання центрів мас такої системи описується наступними рівняннями

, (4.1)

де вектор стану системи коливання має вигляд , – координати положень центрів мас відповідно, – коефіцієнти пружності відповідних пружин. Керуючі сили для системи (4.1) прикладені до мас та

.

Замкнутій системі (4.1) необхідно забезпечити наступні власні значення

, ,

,

які забезпечують замкнутій системі асимптотичну стійкість з мінімальною по нормі матрицею підсилення. Маси та коефіцієнти пружності були вибрані наступні .

Модальний регулятор для системи (4.1) будемо будувати за умови оптимізації [10]

(4.2)

Тут компоненти вектора є коефіцієнтами характеристичного рівняння розімкнутої системи (4.1)

.

Для розв'язання сформульованої задачі скористаємося результатами попереднього параграфа. Запишемо чисельну процедуру знаходження матриці . З цією метою запишемо функцію Гамільтона для сформульованої оптимізаційної задачі (4.1, 4.2)

.

Спряжені змінні задовольняють наступним системам рівнянь

,

,

Матриці розмірності мають наступну структуру

де одиничні орти розмірності n . Тоді

.

для градієнтних обчислювальних процедур

В результаті проведення чисельного експерименту для коливальної системи (4.1) отримана наступна оптимальна матриця модального керування

На мал. 4.2 зображене коливання мас системи без керуючих впливів.

Мал. 4.2

На мал. 4.3 зображене коливання центрів мас замкнутої системи з оптимальним модальним керуванням.

Мал. 4.3

На мал. 4.4 відображений процес збігання норми матриці модального регулятора до його оптимального значення.

Мал. 4.4